L'auteur principal des différents résultats est indiqué en gras.
Schémas de Subdivision
Ce fut lors d'un séjour de trois mois au sein du
Rainbow Group
du laboratoire d'informatique de Cambridge, financé par le programme européen
MINGLE que je m'initiai
aux schémas de subdivision avec
Malcolm Sabin ,
Neil Dodgson et
Loïc Barthe .
Analyse
Très vite, Malcolm Sabin nous a lancé le défi suivant:
peut-on adapter les schémas connus pour maîtriser les artefacts
qu'ils provoquent autour des point extraordinaires, annonçant son
appel
de la Conférence Curves and Surfaces à St Malo en 2002.
Depuis, je poursuis quelques pistes au sein de cette recheche :
Construction d'outils pour l'analyse d'un schéma de subdivision
-
"Techniques for Simplifying Subdivision Matrix Eigencomponent Computation"
C.Gérot
In Minisymposium Structure of Subdivision Surfaces organized by Georg Umlauf,
SIAM Conference on Geometric Design and Computing, Phoenix AZ, 2005.
-
"Simple computation of the eigencomponents of a subdivision matrix in the Fourier domain"
L.Barthe, C.Gérot, M.A.Sabin, L. Kobbelt
In N. A. Dodgson, M. S. Floater and M. A. Sabin, editors,
Advances in Multiresolution for Geometric Modelling,
Springer-Verlag, 2005,ISBN 3-540-21462-3, pp. 247--260.
Analyse alternative d'un schéma de subdivision pour un "bon comportement"
de la surface limite plutôt que des propriétés de continuité différentielle
-
"Antagonism between Extraordinary Vertex and its Neighbourhood for Defining Nested Box-Splines"
C.Gérot, F. Destelle and A. Montanvert
In M.Daehlen et al. Eds., Mathematical Methods for Curves and Surfaces MMCS 2008, Tonsberg, Norway,
LNCS 5862, Springer Verlag, 2010, p.242-260
-
"Analyse spectrale des artefacts en subdivision"
François Destelle, Salem Saïd, Cédric Gérot et Annick Montanvert
GRESTI'09, 2009.
-
"Subdivision as a sequence of sampled C^p surfaces"
C.Gérot, L.Barthe, N.A.Dodgson, M.A.Sabin,
In N. A. Dodgson, M. S. Floater and M. A. Sabin, editors,
Advances in Multiresolution for Geometric Modelling,
Springer-Verlag, 2005,ISBN 3-540-21462-3, pp. 261--272.
Généralisation
La section précédente concerne des schémas linéaires stationnaires uniformes. Je me suis par la suite
intéressé à l'interrogation de ces frontières et ai commencé l'inspection des territoires dont elles
gardaient l'entrée:
Subdivision non-uniforme
-
"vers une Analyse Multirésolution Non-Uniforme fondée sur le Nombre d'Or"
C.Gérot, V. Nivoliers, N. F. Stewart, V. Ostromoukhov
séminaire du DIS - GIPSA-Lab Grenoble, Juin 2012.
-
"L-system specification of knot-insertion rules for non-uniform B-spline subdivision"
V.Nivoliers, C.Gérot, V. Ostromoukhov, N.F.Stewart
Computer Aided Geometric Design, vol. 29, Issue 2, 2012, p.150-161
Combinaisons affines de schémas de subdivision
-
"Linear Combination of Subdivision Schemes"
C.Gérot, I. Ivrissimtzis, M. Sabin
Workshop on Subdivision and Refinability, Pontignano, October 2009
Descripteur de subdivision topologique bi-varié généralisé
-
"A Topological Lattice Refinement Descriptor for Subdivision Surfaces"
F. Destelle, C.Gérot, and A. Montanvert
In M.Daehlen et al. Eds., Mathematical Methods for Curves and Surfaces MMCS 2008, Tonsberg, Norway,
LNCS 5862, Springer Verlag, 2010, p.242-260
Utilisation
L'inspection horizontale du monde des schémas de subdivision évoquée ci-dessus
s'est naturellement complétée de l'inspection verticale des domaines scientifiques
se trouvant en amont ou en aval de ce monde :
Prédicteur d'une réprésentation multi-échelles non-linéaire non-séparable
-
"Nonlinear and non-separable multiscale representations based on Lipschitz perturbation"
C.Gérot, B.Mateï and S.Meignen
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics,
vol. 349, Issues 13-14, 2011, p.714-744
Box-Splines et schéma lifting pour des objets animés 3D
- Travaux entrepris avec Frédéric Payan, Basile Sauvage et Franck Hétroy (Projet PPF Maths-Info 2009 et projet Jeunes Chercheurs GdR ISIS 2007)
Décompositions de matrices
Maillages en Mouvement
Dans les derniers travaux évoqués dans le premier thème, la nécessité de pouvoir
comparer des maillages animés s'est fait jour.
- Travaux entrepris avec Franck Hétroy et Annick Montanvert (Projet PPF Maths-Info 2009 et stage M2R de François Duplaix 2009)
Modélisation de surfaces par un atlas de cartes
Le terme "surface" désigne un objet dont tout le monde a une intuition.
Et lorsqu'il s'agit d'en donner une définition mathématique,
la première idée est d'en donner une description paramétrique (ou implicite).
Mais l'on sent bien que les propriétés de l'objet ainsi décrit ne peuvent être
réduites à celles de la description que l'on en a donné. Ainsi a-t-on cherché
à définir des propriétés indépendantes de toute paramétrisation telles que
les continuités géométriques.
Or l'idée même de propriété indépendante de toute description particulière
rappelle la notion d'ensemble quotient. Les descriptions d'un même objet
seraient dites équivalentes, et l'on chercherait alors à définir des propriétés
non pas sur une description mais sur un ensemble de descriptions équivalentes,
autrement dit sur un élément de l'ensemble quotient. Et cette idée existe déjà
en géométrie différentielle avec la relation d'équivalence entre atlas décrivant une même variété.
Utilsation pour les surfaces utilisées en Animation
-
"Simple flexible skinning based on manifold modeling"
F. Hétroy, C.Gérot, L. Liu and B. Thibert
In International Conference on Computer Graphics Theory and Applications (GRAPP09),
Lisboa, Portugal, 2009.
Définition par un atlas d'une surface approchant une surface triangulée
Après avoir étudié ce que pouvait être un modèle de surface
fondé sur la représentation par un atlas de cartes,
j'ai choisi de l'appliquer à l'approximation d'un maillage
triangulaire
M donné par une surface régulière décrite par un atlas.
Ceci se fait en trois temps :
- nous approchons M par une famille de primitives
(morceaux de plans approchant une région définie sur M,
- les primitives sont paramétrées sur des domaines de R2 reliés
par des fonctions de transitions qui sont des C1-difféomorphismes,
- grâce à cette structure d'atlas et à la définition d'une partition
sur celle-ci, nous fondons les primitives entre elles par combinaison convexe.
D'une surface triangulée à une surface régulière.
Vous pouvez retrouver ces réflexions sur les applications de ce
modèle de surface en informatique graphique dans le
chapitre 3 (168Kb) de mon mémoire de thèse et dans la
publication suivante :
-
"Surface interpolation by means of convex combinations",
C.Gérot, D.Attali et A.Montanvert,
T.Lyche, M.-L.Mazure et L.L.Schumaker, Eds.,
Curve and Surface Design Saint-Malo, 2003,
Nashboro Press Nashville TN, p.177-186
Approximation d'une surface triangulée par des plans
Pour appocher une surface triangulée par des plans, je propose de définir un
recouvrement de celle-ci, c'est-à-dire un ensemble de régions se superposant
et tel que chacune soit bien approchée par un plan.
Ce travail a nécessité le recours à des notions
de
topologie, de
graphe, et de
simplification de triangulation.
Nous avons en particulier démontré que le
nerf d'un recouvrement bien formé
est une triangulation combinatoire. Tout ceci est présenté dans le
chapitre 4 (1Mb) de mon mémoire.
Exemples de recouvrements sur un maillage de 1002 sommets et 2000 faces.
Approximation C1 d'une couronne polygonale du plan
La deuxième étape de la construction demande la définition de fonctions
de transition entre les domaines de paramétrisation
des primitives. Cela nous permet de mettre en correspondance les points
des primitives que l'on combinera ensuite pour assurer le raccord continu de celles-ci.
Aussi ces fonctions de transition doivent être des C1-difféomorphismes
entre des parties d'une zone périphérique définie sur chaque domaine,
cette zone étant une couronne polygonale.
Pour que cela soit possible, il convient alors d'approcher au préalable
cette couronne par une couronne lisse. C'est ce que j'ai proposé dans le
chapitre 5 (810Kb) de mon mémoire.
Raccord des primitives planes en une surface lisse
Enfin, grâce à ces fonctions de transition, nous pouvons
raccorder les primitives planes en une surface lisse par
combinaison convexe.
J'ai présenté ce raccord dans
l'article (1.7Mb) suivant :
-
``From local approximation to a G^1 global representation'',
C.Gérot, D.Attali et A.Montanvert,
P.-J.Laurent, P.Sablonnière et L.L.Schumaker, Eds.,
Curve and Surface Design Saint-Malo, 1999,
Vanderbilt University Press Nashville TN, p.109-118
ainsi que dans le
chapitre 6 (340Kb) de mon mémoire.
Exemples de raccords de surfaces.
Ce type de raccord a deux avantages essentiels : l'approximation
du maillage triangulaire de départ par la surface
qui en résulte est du même ordre que son approximation
par les primitives. De plus, il permet de raccorder un nombre
quelconques de primitives simultanément.